Сап, /б/, есть одна задачка. линейная алгебра, все делаПусть А - квадратная матрица порядка n. Доказать, что если A^2 = E (единичной матрице), то сумма рангов матриц A + E и A - E равна n. Какие выводы уже сделал:- Матрица А обратна сама себе, т.к. при возведении в квадрат дает единичную- Матрица А имеет ранг n (иначе она не могла бы иметь обратную матрицу)- Скриптом на numpy я прошерстил диапазоны для матриц 2 и 3 порядка и понял, что матрица А хитровыебанным образом составляется из 0 1 и -1- Для случая 33 имеется 164 варианта матрицы А, для 22 имеется 14В какую сторону думаю думать - если диагонализировать матрицу, то её ранг будет равен количеству ненулевых элементов на диагонали, а значения на диагонали равны собственным числам. Собственные числа получаются из приравнивания определителя матрицы, в которой собственные числа вычтены из диагонали, к нулю. Фактически, A + E и А - Е - это вычитание и прибавление к диагонали А единица что, если количество собственных чисел зависит от +1 или -1 к диагонали и каким-то образом этой сумме равняется n?Пишу сюда, на /math/ 3,5 анона
>>153881344 (OP)2+2 = 4
бамп
Найди и заюзай след с определителем квадрата матрицы
>>153881540Если честно, не понял о чем ты :( или не знаю про след, или не думал, что это так называется. Можешь чуть подробнее, пожалуйста?
>>153881694След матрицы это сумма элементов диагонали. Гугли его свойства. На Вики вроде есть
>>153881540Смотри, определитель квадрата всегда будет равен 1, т.к. матрица в квадрате даёт единичную матрицу
Анон, я сегодня получил метафизических пиздюлей, не могу уснуть и пишу в твой тред.Думаю над задачей. Пока сходу скажу, что ты не всякую матрицу сможешь диагонализировать даже над алг. замкнутым полем.
Подписался на тредик.
>>153881344 (OP)>- Матрица А имеет ранг n (иначе она не могла бы иметь обратную матрицу)ok. rangA = n;>сумма рангов матриц A + E и A - E равна n. n + E = n - E = nвот и всё
>>153884260Сначала надо аккуратно доказать, что любую матрицу вида А^2 = E можно диагонализировать.Очевидно, что собств. числа +-1Пусть есть k единиц и n-k минусединиц на диагонали. Тогда A+E будет иметь ранг k, а A-E ранг n-k, и все сходитсяЗатем
>>153881344 (OP)зачем это доказывать? неужели формальный заеб так важен?
