Допустим, у нас есть топологическое пространство X с топологией tau_x. Мы строим фактортопологию по определению: у нас есть отношение эквивалентности delta, по которому мы разбиваем X на непересекающиеся классы эквивалентности. В tau_x/delta мы кладём все такие множества, прообразы которых при отображении pi открыты (отображение pi: X -> X/delta сопоставляет каждому x его класс эквивалентности). Ещё одно определение, которое понадобиться: топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для его любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрестности. Собственно, сам вопрос: может ли хаусдорфовость исчезнуть при факторизации.Мои попытки решения: да, может, я вроде нагуглил контрпример (http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_03_03.pdf, 4 страница, новый параграф), но чёт запутался в нём. Я не понимаю, как отношение R разбивает множество вещественных чисел на классы эквивалентности. Ну то есть оно мы же не представляем вещественную прямую в виде двух непересекающихся множеств (в одном все элементы, разность которых рациональна, в других — иррациональна). Потому что тогда они буду пересекаться, ну типа p/q=x+p/q-x, x может пробегать вообще всё что угодно (ну то есть всю вещественную ось). Если обозначить иррациональное число ir, то ir=x-y, тут тоже все числа можно получить. В итоге хуйня какая-то выходит, а не разбиение. Может взять вещественную плоскость и разбивать уже пары чисел по такому же принципу на классы эквивалентности?
>>394204 (OP)Ну например такой пример работает:X - множество натуральныхτ_x - множество состоящее из всех конечных множеств натуральных и множества всех натуральных.Полагаем x~y, если x=y=0 или если 0<x и 0<y.После факторизации получаем пространство с двумя точками и топологией состоящей из пустого, {[0]} и всего пространства. Несложно заметить, что хаусдорфовость потерялась..
Зачем так сложно?Берём множество [-1;1]x{0,1}, отождествляем все точки, кроме (0,0) и (0,1), отображением f(x,k)=x. Получается как на пике, дальнейшее очевидно.
