у меня уже дети могли быть такого возраста как аноны, думаю не зря общение на дваче скатилась в такое школьниперство, в 2011 все ждали когда будет ночь и все школьники съебут с борды, сейчас гавно льется все 24 часа
>>210810440ну нет, такое ощущение что ты так рад что там что-то растет, но как то частями - ps ну я вообще бороду и усы не ношу
>>210810440Такая себе борода. Сбрей усы и отрасти бороду как у уэйна статика. Будет лучше смотреться отвечаю
>>210810569Привет, Виталь, я узнал тебя по твоей физиономии. Возвращайся с пляжа скорей, фаны ждут подруба.
>>210810487а так и есть.заходишь, слушаешь всё это и понимаешь что выражаются люди которым дай бог лет 16 стукнуло.и они на полном серьёзе темы задвигают, как они уже мир прохавали и как они в нём всё поняли и вообще, все кто с ними не согласны дураки.и аргументы для дураков.Век методичек, ей богу.напишут себе памятки, скринят и форсят их во всех тредах, как будто если одно и тоже говно пихать везде - то оно более интересное станет.
Перекатhttps://2ch.hk/b/res/210806613.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210806613.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210806613.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210806613.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210806613.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210806613.html
Ублюдки, скажите, что вы жирните просто, не хочу встречать горькую правду про 13-тилетних обитателей этой помойки
>>210811632Надеюсь, что все эти треды нацелены на постиронию и все эти фотки взяты из инета, мне страшно сидть на борде с такими всратышами
>>210811632Надеюсь, что все эти треды нацелены на постиронию и все эти фотки взяты из инета, мне страшно сидть на борде с такими всратышами
ебаных альфачей красавцев полон тред, и эти люди ещё сука ноют про как им тяночку хочется. Пиздец, моя депрессия усилилась пойду нахуярюсь.
>>210812104Если она доминирует и зовет тебя ничтожеством то скорее всего ебать тебя как раз будет она волшебной дилдой на застежках лол
>>210812207Ох, роскошная девушка, я бы Вас любил всю ночь, весь день, всю жизнь, в ярких лучах солнца иль в темень непросветную.
>>2108104404/10, ебло и борода модели "В нашем городе совершенно невозможно найти девушку, точно вам говорю">>2108104915/10 Васян Классический>>210810539Грустный девственник "мама чомуу", 4/10>>210810569Тупа генетический отброс, скорее всего еще и Сергеем зовут, 3/10>>210810579Нормальный чел, 6/10, возможно даже был СЕКЬС>>210810619Мамин маньяк, этим бы ртом и челюстью говно хлебать. Но при более позитивной подаче тянки могут течь.>>210810625Существо неопределенного пола, похоже на некрасивую бабу из средней полосы РФ>>210810640Сасный школьник, все пожилые педики-папики твои. 7/10>>210810669Нитакойкакфсе из палаты мер и весов (tips fedora)>>210810681Гопник, решивший запилить себе пидорскую прическу и посмотреть, что будет.
>>210812597Ты куда съебался в итоге? Последний раз когда виделись собирался "в деревню ходить босиком и угарать по толстовщине"
>>210810619Обосрался с тебя, ты нахуй щеки прикусил и подбородок выдвинул вперёд? >>210810440Пикрил ты?
>>210812801Чувак, без негатива, но у тебя крысиная морда, но ты не отчаивайся сейчас год крысы, мимотян
>>210812909Ща я посрать схожу и помогу, и вообще хули моча не банит этот скам? Танцульки нахуй, аниме нахуй, а социоблядство нормально???
>>210812838Я не храню фоток знакомых. Просто бровями похож и подбородком. Когда общался с ним последний раз, он ходил в качалку, вот я и подумал, мол накачался.
Тёлочки, я здесьВылежу ваши писечки. Можете присесть мне на лицо. Ещё очень люблю толстых фемочек. :3Рейтаните))
>>210810063 (OP)Бля ахуенный тред, ебать мы раскачались пачаны, раньше такого треда не было. ПИЗДАТО!
>>210813239Забей норм девчонка - те кто считают стремной думаешь сами лучше ? Похожа но не буду писать на кого по крайней мере 1 фото
>>210813465В телеграмм канале осел. Ведет войну на информационном поле, уличая матриархат в манипуляциях над общественным сознанием
>>210810491Это один из самых тупых хуесос которого я когда либо знал. Поднимаю свою самооценку смотря его видосы, лол.
>>210813239Я СОСТРАДАНЬЕ ЗА ЛЮБОВЬ ГОТОВ ПРИНЯТЬ! АНОН ОТВЕРЖЕННЫЙ С ПРОКЛЯТЬЕМ В ГОЛОВЕ, Я НИКОГДА НЕ БУДУ СЧАСТЛИВ НА ЗЕМЛЕ! И ПОСЛЕ СМЕРТИ МНЕ НЕ ОБРЕСТИ ПОКОЙ... Я ДУШУ ДЬЯВОЛУ ПРОДАМ ЗА НОЧЬ С ТОБОЙ!Господи, БОГИНЯ, 15/10! Асечку, контактик, тележечку, молю на коленях!
>>210810063 (OP)Бля ахуенный тред, ебать мы раскачались пачаны, раньше такого треда не было. ПИЗДАТО! ЧИЛИМ БЛЯ
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
ПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.html
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
ПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.html
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
ПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТПЕРЕКАТhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.htmlhttps://2ch.hk/b/res/210813980.html
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
>>210813774А что не так?>>210813817Занимаюсь этим делом>>210813826С поэзией никак не связан>>210813858Окей. Спасибо, полагаюАбу благословил этот пост.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
И где же руснявые круглоголовые унтеры?Большинство в треде больше на немцев или шведов похожи.Русофобы, оправдывайтесь.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
>>210813912Так это всё шелупонь, ни один из этих додиков не сидит из под прокси, не юзает даркнеты и не делает плохих вещей.
>>210814143>И где же руснявые круглоголовые унтеры?>>Большинство в треде больше на немцев или шведов похожи.>>>Русофобы, оправдывайтесь.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
>>210814206Если я буду делать что то плохое, я бы делал это так чтобы это было афишировано хуль прятаться епта в чем логика прятанья как крыса и действий тех или иных из тени. Не нравится система действовать надо открыто и ебашить и показывать себя как есть ( а не гнить в норах под сотней проксей и прочего говна прячась как крыса)
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
>>210810724На завод или в армию, нахуй. Тупой, но не всратый, 6/10>>210810768В 2004 был бы самым успешным говнарем на районе, сейчас хех кек мда. 5/10>>210810825Борода похожа на волосы, выдранные с жопы и лобка, но без нее ты будешь совсем ебаный и всратый. Сбрей все, оставив только goatee. 5/10>>210810925При должной подаче в РФ это может считаться чэдом-сердцеедом. Жаль, если ирл ты алкаш-пиздализ. 7/10>>210811062Блеадь, еще одно существо неопределенного пола. Эстрагенчик, страпончик?>>210811092Нормальная зумерская сосочка, можно помакать. 6/10>>210811123Иллюстрация к запросу "инцел+челюсть".
>>210813992я тут недавно с тян пиздел, 20 летней, она мне выдала".....ну смотри, открываешь какой нибудь паблик типа того же двача..."Знатного баребуха словил.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.Содержание1 Определение1.1 Замечания1.2 Комплексные многообразия1.3 Совместимые структуры1.4 Отображения2 Подмножества и вложения3 ЛитератураОпределениеПусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.ЗамечанияЕсли дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.Комплексные многообразияЗадачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.Совместимые структурыНа любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:{\displaystyle n}n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1ОтображенияПусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.Подмножества и вложенияПодмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.ЛитератураБурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).Київська духовна академія і семінарія; Інститут рукопису На
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
>>210814505Ага, попробуй афишировать торговлю героином в детском саду, сразу 100 бутылок в жопу запихают на 40+ лет, паровозиком. С зоны будешь веселые треды потом создавать.
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
>>210815357Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
>>210815543Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
>>210810063 (OP)Да откуда же вы лезите блять, быдло ебаное. Аноны блять, какие вы блять аноны еблами светить. Хртьфу!
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
>>210816759>>210816752>>210816686Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
