Поздравляю тебя, анон. У самого дочь родилась в 2014 году, тоже зимой.
Уже выебал ее?
Поздравляю!
Как пришли к мнению о том, что пора заводить детей? Есть горечь осознания того, что теперь будет меньше времени на борды и аниме?
Конечно! Летом 14-го
Маленькая пися ещё
Почему его должно стать меньше?
Ебать будешь?
Ты же понимаешь, что ты теперь латентный куколд? Уже лет через 15 твою ненаглядную дочку, которую ты лелеял и целовал, будет насаживать где то в грязном клубном сортире какой нибудь Дилдобек?
>Почему его должно стать меньше?
Еще год назад решили. Мне кажется, воспитать счастливого и уверенного в себе человека круто.
>Еще год назад решили. Мне кажется, воспитать счастливого и уверенного в себе человека круто.
Это ты через 10-15 лет
Хоть бы твоя выблядуха скончалась от спидорака пизды
Мои поздравления, анон. Удачи, здоровья и терпения! Постарайся её воспитать правильно.
Свежее фертильное мясо в гаремы исламбэка мммм. Поздравляю отэц )))
Поздравляю!
Отдай её только в нормальную школу, частную, нехуй нормальным детям делать в общеобразовательной параше.
Кто-кто, а инцел о хуяц исламбэка. Вкусно так что ли?
>Этой зимой у меня родится дочь. Это охуенно. Порадуйся за меня, двач
Ты бы хоть днк тест сделал куколдик.
>обсуждает ту что по определению будет скакать на хуях ашота
>всерьез удивляется что заговорили о хуях ашота
Название болезни срочно!
Я надеюсь, что у нас будет возможность оплачивать частную школу.
Каково это растить дочку для обрэзаного хуя который в лучшем случае её заберёт в гарем (вместе с твоей хатой) в худшем придушит и зарежет как на небезызвестном видео где такой же натрахе вскрыли 2 чётких джигита горлышко. М?
Пиздец, ну вот за что? Что она вам сделала? Нахуя вы ее сюда тащите? Вам тут искренне так нравится, что нужно сюда добавить еще одно существо с сознанием? Ебаные мрази.
Для умственно отсталых? Кстати а у даунов либидо высокое? Ох и осеменят её...
Ты русский?
Будешь её ебать?
Я так называемый куколд. Это отвечает на твой вопрос?
>Я надеюсь, что у нас будет возможность оплачивать частную школу.
Надейся пидораш, надейся.
Поебыаешь её?
Пиздец ты тупой. Мои соболезнования.
Можно ебать без затрат.
>Как пришли к мнению о том, что пора заводить
Жена надоела, нужна дочь.
Имя на трипл роллим?
карасик
Какким же нужно быть ублюдком и мразью чтобы бы делать литей в рашке, обрекать их на скотское существование и выживание в скотоублюдии. Мда, опчик не очень умный.
Беременную тян то ебёшь?
Ох вау. Ну можешь поздравить парня своей жены, что ли.
Чел, только в товоём мире все девушки "скачут на хуях Ашота". Ты, конечно, думай как хочешь, но почему бы не признаться, что ты просто любишь обрезанные хуи вот поэтому про них пишешь даже не в тему?
>>252987018
А откуда у нас тогда девушки на улицах если их в лучшем случае забирает гарем?
я не оп, у меня нет детей, слава Аллаху
>дитей
фикс
Утешай себя дальше
За что? За то что очередную шлюху растить будешь?
Добра тебе и твоей семье,анон
Почему не аборт? Девочка же будет. Могли бы аборт сделать и заново попробовать чтоб пацан получился.
> зимой родится дочь
> зимой
> охуенно
Нет, не ахуенно. Самое охуенное, когда дети рождаются летом. Жалею, что не родился летом
мимо родился осенью
Ну у меня общий доход 200, если с премиями. Так что думаю, что частную потянем.
Детей, хач, детей.
Почти нет.
Ты понимаешь, что став причиной рождения человека, автоматически обрёк его на смерть? Причём с вероятностью 0,7-0,9, эта смерть будет мучительной .
Так ещё и в России. Ты сказочная мразь, живи с этим.
Ну кому ты пиздишь пидораш, соси хуец барина за 17 к и радуйся.
Соболезную, теперь у тебя на шее будет две тухлодырых мрази.
Поздравляю, папаша !!!! Но у меня есть подозрение, что я тебя уже поздравлял......
Я русский.
жена татарочка
Программист в ДС. Что такого?
Каково это обрекать жизнь на страдания в руснявом мордоре ?
>Программист в ДС
Найс маняфантазии
ТВОЯ ТЯНКА ОБСЛУЖИВАЕТ ТОЛПУ ХАЧЕЙ ПОКА ТЫ СИДИШЬ И ПРОГРАММИРУЕШЬ СВОЮ ХУЙНЮ И ОПЛАЧИВАЕШЬ ЕЙ ВСЕ ПРИХОТИ
Следующим летом ты будешь платить алименты. Рад за тебя.
Этой зимой у меня родится двач. Это охуенно. Порадуйся за меня дочь.
Роллить имя-то будешь?
Поздравляю. Тебе предстоит жить с мыслью, что в один прекрасный момент ее начнет ебать какой-то черт. Возможно даже хач.
>у меня общий доход 200, если с премиями
А разговоров-то было...
Ну, поздравляю. Чел, ты же пытаешься на самоподдуве внушить себе, что это охуенно. Но мы то понимаем, что тебя ждёт в будущем. А именно: недоспанные ночи, блядство жены, развод и алименты.
Ну, поздравляю, наверное
Хочешь стать отцом для моей дочери?
Этой дочери у родится меня. Эхуенно ото. Меняйся двача порада за.
Я буду
мимо ашот
Поздравляю
Поэтому надо заделать доченьке младшего братика, чтобы тот ее насаживал. Это уже будет не по куколдски?
она родится мертвой
Какая прекрасная новость! Конечно это не только счастье, но и испытание. Уход за новорождённым ребёнком это тяжело как морально так и физически. Дальше же будет ещё сложнее. Переходный возраст съест очень много нервов. Всё это с лихвой перекрывается любовью к своему ребёнку. Желаю терпения тебе и вырасти достойным человеком твоей дочке.
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B A B {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O {\displaystyle O} O, направлением оси абсцисс вдоль O A {\displaystyle OA} OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π {\displaystyle \pi } \pi (180°) для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Определение для любых углов
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α {\displaystyle \alpha } \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R {\displaystyle R} R с центром в начале координат O {\displaystyle O} O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча O B {\displaystyle OB} OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B {\displaystyle B} B обозначим x B {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату обозначим y B {\displaystyle y_{B}} y_B (см. рисунок 2).
Синусом называется отношение sin α = y B R . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение cos α = x B R . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс определяется как tg α = sin α cos α = y B x B . {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс определяется как ctg α = cos α sin α = x B y B . {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс определяется как sec α = 1 cos α = R x B . {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как cosec α = 1 sin α = R y B . {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B A B {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O {\displaystyle O} O, направлением оси абсцисс вдоль O A {\displaystyle OA} OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π {\displaystyle \pi } \pi (180°) для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Определение для любых углов
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α {\displaystyle \alpha } \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R {\displaystyle R} R с центром в начале координат O {\displaystyle O} O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча O B {\displaystyle OB} OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B {\displaystyle B} B обозначим x B {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату обозначим y B {\displaystyle y_{B}} y_B (см. рисунок 2).
Синусом называется отношение sin α = y B R . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение cos α = x B R . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс определяется как tg α = sin α cos α = y B x B . {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс определяется как ctg α = cos α sin α = x B y B . {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс определяется как sec α = 1 cos α = R x B . {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как cosec α = 1 sin α = R y B . {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.} Определение для острых углов
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B A B {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O {\displaystyle O} O, направлением оси абсцисс вдоль O A {\displaystyle OA} OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π {\displaystyle \pi } \pi (180°) для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Определение для любых углов
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α {\displaystyle \alpha } \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R {\displaystyle R} R с центром в начале координат O {\displaystyle O} O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча O B {\displaystyle OB} OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B {\displaystyle B} B обозначим x B {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату обозначим y B {\displaystyle y_{B}} y_B (см. рисунок 2).
Синусом называется отношение sin α = y B R . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение cos α = x B R . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс определяется как tg α = sin α cos α = y B x B . {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс определяется как ctg α = cos α sin α = x B y B . {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс определяется как sec α = 1 cos α = R x B . {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как cosec α = 1 sin α = R y B . {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B A B {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O {\displaystyle O} O, направлением оси абсцисс вдоль O A {\displaystyle OA} OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π {\displaystyle \pi } \pi (180°) для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Определение для любых углов
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α {\displaystyle \alpha } \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R {\displaystyle R} R с центром в начале координат O {\displaystyle O} O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча O B {\displaystyle OB} OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B {\displaystyle B} B обозначим x B {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату обозначим y B {\displaystyle y_{B}} y_B (см. рисунок 2).
Синусом называется отношение sin α = y B R . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение cos α = x B R . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс определяется как tg α = sin α cos α = y B x B . {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс определяется как ctg α = cos α sin α = x B y B . {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс определяется как sec α = 1 cos α = R x B . {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как cosec α = 1 sin α = R y B . {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.} Определение для острых углов
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B A B {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O {\displaystyle O} O, направлением оси абсцисс вдоль O A {\displaystyle OA} OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 π {\displaystyle 2\pi } 2\pi (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π {\displaystyle \pi } \pi (180°) для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Определение для любых углов
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α {\displaystyle \alpha } \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R {\displaystyle R} R с центром в начале координат O {\displaystyle O} O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча O B {\displaystyle OB} OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B {\displaystyle B} B обозначим x B {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату обозначим y B {\displaystyle y_{B}} y_B (см. рисунок 2).
Синусом называется отношение sin α = y B R . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом называется отношение cos α = x B R . ={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс определяется как cosec α = 1 sin α = R y B . {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету); \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displa
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
синусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O B {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A O B {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение A B O A {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);ystyle {\frac {AB}{OA}}} \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O A A B {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла α {\displaystyle \alpha } \alpha называется отношение O B O A {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\ displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\s in\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alph a }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
Формулы тройного угла:
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , {\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,} \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α , {\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,} \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α 1 − 3 tg 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
ctg 3 α = ctg 3 α − 3 ctg α 3 ctg 2 α − 1 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.} \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.
Прочие формулы для кратных углов:
sin 4 α = cos α ( 4 sin α − 8 sin 3 α ) , {\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),} \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
cos 4 α = 8 cos 4 α − 8 cos 2 α + 1 , {\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,} \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
tg 4 α = 4 tg α − 4 tg 3 α 1 − 6 tg 2 α + tg 4 α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},} \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
ctg 4 α = ctg 4 α − 6 ctg 2 α + 1 4 ctg 3 α − 4 ctg α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
sin 5 α = 16 sin 5 α − 20 sin 3 α + 5 sin α , {\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,} \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
cos 5 α = 16 cos 5 α − 20 cos 3 α + 5 cos α , {\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,} \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
tg 5 α = tg α tg 4 α − 10 tg 2 α + 5 5 tg 4 α − 10 tg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
ctg 5 α = ctg α ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 5 5 ctg 4 α − 10 ctg 2 α + 1 , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},} \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
sin ( n α ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( α + π k n ) {\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)} \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) cos n − 2 k − 1 α sin 2 k + 1 α , {\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,} \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) cos n − 2 k α sin 2 k α , {\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,} \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
t g ( n α ) = sin ( n α ) cos ( n α ) = ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) t g 2 k + 1 α ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) t g 2 k α , {\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},} \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
c t g ( n α ) = cos ( n α ) sin ( n α ) = ∑ k = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) c t g n − 2 k α ∑ k = 0 [ ( n − 1 ) / 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) c t g n − 2 k − 1 α , {\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},} \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
где [ n ] {\displaystyle [n]} [n] — целая часть числа n {\displaystyle n} n, ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
sin α 2 = 1 − cos α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
cos α 2 = 1 + cos α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
tg α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\a}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} \operatorname{tg}\,\fr
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.
>>252989118
>>252989144
>>252989158
>>252989175
>>252989316
>>252989334
Спасибо, анон. Но ты опоздал с этим на 14 лет.
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α = 2 ctg α ctg 2 α − 1 = 2 ctg α − tg α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},} \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = ctg α − tg α 2 . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.} \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tg α 1 + tg 2 α = 2 ctg α 1 + ctg 2 α = 2 tg α + ctg α , {\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},} \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = 1 − tg 2 α 1 + tg 2 α = ctg 2 α − 1 ctg 2 α + 1 = ctg α − tg α ctg α + tg α , {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha 2\sin ^{2}\alpha ={\frac