Классический курс матана-I начинается с определения вещественных чисел по Дедекинду. Продолжается эпсилон-дельта определением предела последовательности, арифметических его свойств, свойств бесконечно-малых последовательностей и через них - свойств сходящихся. Дальше следуют теоремы Вейерштрасса, Коши-Кантора о вложенных отрезках, Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях и критерий Коши. Потом даётся определение предела функции по Коши и по Гейне, доказывается их эквивалентность. С помощью предела по Гейне все теоремы о последовательностях переносятся на функции. Потом как-то вдруг возникают непрерывные функции и их свойства. Дальше идут друг за другом пафосные именные теоремы: Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора, об обратной. Потом как-то сикось-накось определяются элементарные функции - традиционно проёбывается определение тригонометрических. Дальше всякие эквивалентные бесконечно-малые, типы неопределённостей и прочая туфта. Потом возникает производная. В этом месте препод, надувши щёки, важно возвещает, что производная-де - это тангенс угла наклона касательной. Затем впадает в своё обычное коматозно-горячечное состояние и выписывает таблицу производных. Дальше ещё одна порция именных теорем: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа, Тейлора, Лопиталя. Затем препод выписывает несколько рядов Маклорена, раскрывает несколько неопределённостей, исследует несколько функций, и на этом курс благополучно заканчивается. Впереди интегралы.
Так вот, физикам всё это не нужно. Ни один физик в своей деятельности эпсилон-дельта нотацией пользоваться сроду не будет. А у всех названных выше теорем не запомнит даже названий. Ну и зачем, спрашивается, огород городить?
Я предлагаю преподавать что-нибудь, что хотя бы как-то может пригодиться физикам. Начать можно с определения графа. Затем ввести функции как частный случай графа. Затем, таки да, определить категории и функторы. Не понимаю, почему все так их боятся, ведь определение категории через графы очень простое. Категория - ориентированный мультиграф такой, что
1. В каждой вершине висит петелька
2. Если есть путь из A в B, то есть и стрелка из A в B, соответствующая этому пути
Ещё нужно сказать пару слов о правилах манипулирования путями - по каким правилам пути можно приравнивать друг к другу, по каким правилам можно выкидывать из пути старые стрелки или добавлять новые. Совсем не сложно, правда? Уж всяко не сложнее, чем нудный рассказ о дедекиндовых сечениях.
Ориентированный - значит, каждое ребро является стрелочкой.
Мультиграф - между двумя вершинами может быть много стрелок, даже бесконечно-много. Каждая стрелка имеет своё собственное имя.
Путь - это последовательность стрелок, путь имеет вид A->B->...->Y->Z.
Располагая понятием категории, можно определить основные структуры pointless topology (тоже как граф), то есть очень быстро рассказать обо всём, что связано с непрерывностью. Потом ввести производные и интегралы как особую структуру в категории (и их тоже как граф, всё наглядно и никаких лишних больцано-кошей). Дальше - гладкие многообразия и классические структуры на них. И немедленно лагранжеву механику. Как, например, вот тут: https://arxiv.org/pdf/1612.03100.pdf
Таким образом, всю ключевую математику можно изложить не то что за один семестр, но даже за одну лекцию. В Ландау-Лифшице есть попытка сделать что-то похожее, но у Ландау не получилось, он пользовался слишком архаичными идеями.
Остаток семестра можно занять изучением какой-нибудь полезной теории когомологий (я бы предпочёл структуры Ходжа и когомологии Дольбо, но это не принципиально, можно и просто де Рама). А если останется время, то можно определить категории Фукая и рассказать теоретические основы M-теории. И всё это в первом семестре.
Преимущества такого пути очевидны. Физики не будут забивать себе голову бесполезными вещами, зато получат концептуально правильную интуицию и сразу же поймут, что же такое лагранжиан. Не просто услышат термин, как это часто бывает, но получат строгое и точное понимание, и даже немедленно смогут им пользоваться. Из некоторых недостатков - исчезает возможность шулерски прикидываться, что элементарные функции определены. Но на самом деле это не недостаток, и вот почему:
Давать физикам строгое определение элементарных функций бесполезно. Оно требует очень искусного определения вещественных и комплексных чисел, а физики не изучают даже строгую теорию вещественных чисел. Для неё требуется продвинутая теория множеств, а у физиков нет времени на теорию множеств. Как правило, физик, проучившийся своему "матану" целых два года, даже не сможет внятно рассказать, почему 0.(9) = 1, и начинает лепетать что-то невнятное про какие-то там бесконечно-малые. Не говоря уже о более хитрых вопросах - например, почему класс интегрируемых по Риману функций шире класса непрерывных функций, т.е. из-за каких особенностей определения интеграла Римана такое произошло, т.е. какова же причина справедливости критерия Лебега. А ведь по бумагам физик должен знать такие вещи. Бумаги, таким образом, лгут.
Поэтому считать производные, брать интегралы, манипулировать рядами, жонглировать множителями Лагранжа - в общем, всем рутинным вычислениям нужно учить без глубокой теории, чисто механически. Так же, как делению в столбик и вычислению определителей методом Гаусса. И делать это нужно на семинарах, а не на лекциях. Тупо выдать таблицу производных и научить ею пользоваться; де-факто так и происходит.
Я считаю, что тратить время на бессмысленное повторение никому не нужных вещей попросту нелепо. Но пока в университетах преподают старые маразматики пенсионного возраста, из года в год талдычащие одну и ту же архаику, хороших вещей у нас не будет.
Пиздец, ты из 2005 что ли? Именно такие, блять, ретрограды и тормозят систему образования, отстали на 15 лет от современного состояния дел и сидят там. До исторического, блять, материализма. Давить, давить как тараканов.
Очередной вброс по поводу того, что всем физикам классические сюжеты физики знать не нужно, а сырой недоработанный алгебраический фреймворк с 2.5 примерами, который ебет только 1.5 человек даже в математике, - нужно поголовно всем учить. Короче вербетодети которые не знают ни того ни другого выебыватся, забей
Это моё мнение, которое я писал очень много лет назад. Странно, что этот текст до сих пор гуляет по Сети.
> Это моё мнение, которое я писал очень много лет назад. Странно, что этот текст до сих пор гуляет по Сети.
Т.е ты правда считаешь, что матан не нужон, а нужны только гамалогии?
>Классический курс матана-I начинается с определения вещественных чисел по Дедекинду. Продолжается эпсилон-дельта определением предела последовательности, арифметических его свойств, свойств бесконечно-малых последовательностей и через них - свойств сходящихся. Дальше следуют теоремы Вейерштрасса, Коши-Кантора о вложенных отрезках, Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях и критерий Коши. Потом даётся определение предела функции по Коши и по Гейне, доказывается их эквивалентность. С помощью предела по Гейне все теоремы о последовательностях переносятся на функции. Потом как-то вдруг возникают непрерывные функции и их свойства. Дальше идут друг за другом пафосные именные теоремы: Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора, об обратной. Потом как-то сикось-накось определяются элементарные функции - традиционно проёбывается определение тригонометрических. Дальше всякие эквивалентные бесконечно-малые, типы неопределённостей и прочая туфта. Потом возникает производная. В этом месте препод, надувши щёки, важно возвещает, что производная-де - это тангенс угла наклона касательной. Затем впадает в своё обычное коматозно-горячечное состояние и выписывает таблицу производных. Дальше ещё одна порция именных теорем: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа, Тейлора, Лопиталя. Затем препод выписывает несколько рядов Маклорена, раскрывает несколько неопределённостей, исследует несколько функций, и на этом курс благополучно заканчивается. Впереди интегралы.
Согласен с тем, что это абсолютно хуевый и ненужный способ преподавания анализа для любого человека на земле и это должно преподавать на курсах истории математики или подобной хуите.
Построение вещественных чисел вообще нахуй не нужно, также как и нотация из 19 века иже с ним, а почему бы тогда не начать как Бурбаки с построения формальной логики, чтобы построить теории множество, а потом перейти уже к R, почему бы это не запихнуть и в курс анализа? Остальная поебень достойна нескольких лекций.
Да. Давать сразу R как максимальное упорядоченное архимедово поле, с meanvalue theorem в качестве аксиомы. А любителям оснований предлагать соответствующую литературу, чтобы выяснить почему именно так.
Да, очевидно. Хотя формулировки мне бы следовало использовать другие.
>>44140
Ну, построение вещественных чисел - интересная вещь, как и построение вообще любых чисел. Бурбаки начинают не с логики, кстати, а с определения формальных теорий вообще. Логические теории у них частный случай.
>>44149
Альтернатива чему? Давайте определимся, кого мы учим. Если мы учим ученых-математиков, то учить нужно тому, что нужно ученым, т.е. живой науке. Если мы учим программистов или физиков, то и учить их нужно программированию / физике.
>>44152
Два из трёх классических построений R используют поле рациональных чисел как стартовый объект. В первом построении каждое отдельное вещественное число есть множество всех рациональных, особым образом разбитое надвое. Во втором построении каждое отдельное вещественное число есть особое подмножество во множестве всех функций из N в Q, а именно класс эквивалентности фундаментальных. Оба случая нифига не явные и могут быть осознаны только при достаточном владении логикой.
Строгое построение интеграла Римана сложнее, чем определение категории (которую можно определить как мультиграф и буквально нарисовать).
>поэтому интеграл Римана давать можно
Нельзя, он ужасен. Как раз пример того архаичного ужаса, абсолютно бесполезного в реальном мире. Либо вообще дать формулы интегрирования таблицей, либо давать лекцию на тему меру и лебега.
>Ну, построение вещественных чисел - интересная вещь
Фракталы Мандельброта тоже интересная, как и клеточные автоматы, да и вообще формальные грамматики. Но насколько это нужно в дальнейшем?
>Два из трёх классических построений R используют поле рациональных чисел как стартовый объект. В первом построении каждое отдельное вещественное число есть множество всех рациональных, особым образом разбитое надвое. Во втором построении каждое отдельное вещественное число есть особое подмножество во множестве всех функций из N в Q, а именно класс эквивалентности фундаментальных. Оба случая нифига не явные и могут быть осознаны только при достаточном владении логикой.
Если говорить о преподавание студентам физикам, на мой взгляд наиболее здраво вводить через бесконечные десятичные дроби из которых мы выбросили часть, чтобы достичь единственности представления. Но определения через последовательности Коши и дедекиндовы сечения все-равно лучше аксиоматического т.к. по крайней мере мы определяем один объект даже если в построение возникают довольно большие множества.
>Строгое построение интеграла Римана сложнее, чем определение категории
Если смотреть по объему текста, то наверно должно выйти что-то близкое. Но категории останутся полностью неясными т.к. будет совсем туманно о чем и зачем это и рисование графов на эти вопросы не ответит. Их имеет смысл рассказывать только после того, как люди уже знают несколько содержательных примеров, например после одного-двух семестра алгебры и какой-нибудь топологии. Интеграл же Римана отражает очень простую идею об оценки площади под графиком функции путем приближения её ступеньками.
Его преимущество состоит в том, что он отражает более наглядную идею, чем другие способы интегрирования. Касательно того, чтобы вообще не определять интеграл, это вполне ОК если студентам всерьез дальше углубляться в математике не потребуется (что видимо так для большинства студентов физиков), но если все-таки потребуется, то желательно постепенно приучать их к строгим математическим построениям.
Признайся: в гом. ЗС шаришь (скажем, сможешь ли без гугла привести конструкцию категории Фукая) или просто выёбистые слова на пятничном семинаре пару раз слышал? Если шаришь, то скажи - нахуя этим говном кого-то кормить? Там же 3.5 примера и 1.5 конструкции которые работают в дико частных случаев, и ни для чего они не нужны кроме того что "ну прекольно тип)"
Это разумный компромис между геометрической наглядностью и выразительностью, если ты будешь про меру рассказывать пол-курса, то все очень быстро ахуеют.
>Я предлагаю преподавать что-нибудь, что хотя бы как-то может пригодиться физикам. Начать можно с определения графа.
>пригодится физикам
>графы
На этом можно закончить обзор мыслей этого бурбакиста нашего времени.
>>44160
Матачую этого.
Нужно то что ты не понимаешь, чтобы понимать то что не понимаешь.
Это матрицы что ли?
Так тогда и формальная логика им нужна. Хули, цифрами же пользуются.
Нужен ли весь этот строгий матан теорфизикам (помимо того, что он учит мыслить строго и формально, возможно)? С чем я столкнулся, начав изучать его, так это то, что доказательства мат. теорем даются часто на пальцах (понятное дело, что там отдельно обговаривается, что это лишь схематическое доказательства), чтобы, как я понимаю, физик уяснил суть теоремы (собственно, с чем я столкнулся в мат.анализе, в той же алгебре такого намного меньше, к примеру, так это с тем, что доказательства теорем с самими теоремами зачастую не особо связаны).
Можно рассказать меру Жордана и интеграл Лебега по ней. Получишь те же яйца, только с потенциалом для дальнейшего расширения. Интеграл Лебега так-то несложный и наглядный, там именно с мерой ебаться пол-курса приходится.
>>46640
Во-первых, это отчасти нужно, чтобы ты не впадал в ересь и не начинал искать всякие бесконечно малые приращения, делить на ноль и получать бесконечность и тому подобной парашей заниматься. Так можно и к неверным выводам прийти, и крышей поехать. А ты хотя бы будешь знать, что за этим стоит строгая теория с последовательностями, и не полезешь в бутылку там, где не надо.
Во-вторых, существенная часть теорем из первого курса матанализа работает не только в R, но и в произвольных метрических/топологических пространствах. Там ты уже хуй что нарисуешь и ничего интуитивно не понятно, но доказывается всё почти без изменений по сравнению с R. Тем временем, это не такая уж и лютая абстракция, курсе на втором-третьем тебе уже придётся дрочиться с бесконечномерными нормированными пространствами, а будучи теоретиком ты с ними скорее всего продрочишься до своей безвременной кончины.
Но ведь "мера Жордана" - даже не мера нифига, потому что измеримые по Жордану множества не образуют сигма-алгебры. А если продолжить ее по Каратеодори, то мера Лебега и получится.
Интеграл Лебега и для меры на алгебре можно определить, не? Нам же не нужно требовать замкнутости по счётному объединению, нам достаточно разбить уже измеримое множество на счётное объединение.
Никогда про такое не слышал, по крайней мере. Доказательства почти всех утверждений в теории интеграла Лебега используют счётную аддитивность.