Товарищи математики, поясните. Поясните строго.
Эти факты кажутся очевидными, однако они не следуют ни из одного определения вещественных чисел, с которыми я знаком. Для простоты остановимся на сложении вещественных чисел.
Есть множество R, на нем определено отображение +, это отображение ассоциативное, коммутативное, есть 0. Так и получается операция сложения. Но в этом аксиоматическом определении абсолютно ничего не говорится о фактической природе этой операции. Как складывать-то? Мы ж ничего об этой операции и не знаем, кроме нескольких абстрактных свойств.
В определении вещественных чисел через бесконечные дроби сложение вводится через приближение рациональными числами. А рациональные через целые, а целые через натуральные. Ну мы ж все знаем как натуральные числа складывать, чо там, три яблока, два яблока, будет пять яблок. По-моему, говно это все какое-то.
Короче говоря, мой вопрос заключается в том, есть ли какие-либо строгие основания у арифметики. В соответствии с которыми проводятся арифметические операции, устанавливается связь между числами, устанавливается связь между числами и цифрами (цифрами не в смысле значков на бумаге, а в смысле системы и совсем не обязательно конкретной существующей системы вроде арабской, которая как-то упорядочивает числа и придает абстрактным а и b значения, имеющие материальный смысл)?
Почему математики осознанно кладут на этот вопрос хуй? Я вот учусь на примате, меня кто спросит, что такое 2 или почему 2 да 2 будет 4, так я же даже ничего не смогу ответить, кроме этого расплывчатого и банального пиздежа про абстракцию понятия количества.
Алсо я слышал про аксиоматику Пеано, которая вроде бы частично дает ответ на мой вопрос в случае натуральных чисел. Проблема в том, что функция следования в этой аксиоматике определяется через сложение (S(n) = n + 1), а само сложение, как это обычно бывает, не определяется никак. Поправьте, если я тут не прав.
доказать: 2+2=4
определение(D:):2=1+1
D:3=1+2
D:4=3+1
3+1=(1+2)+1
3+1=(2+1)+1
3+1=2+(1+1)
3+1=2+2
4=2+2
> упорядочивает числа и придает абстрактным а и b значения, имеющие материальный смысл
> абстрактным
>материальный смысл
Пошел нахуй, мразь.
S(a+b)=a+S(b)
a+0=a
PROVE: 2+2=4
D:2=S(S(0))
D:4=S(S(S(S(0)))
S(S(S(S(0))) = S(S(S(0))+S(0))
S(S(S(S(0))) = S(S(S(S(0))))+ 0)
S(S(S(S(0))) = S(S(S(S(0)))
Уже с первым же определением можно поспорить. Что такое единица? Что есть +? Без определения не только этих понятий, но хотя бы определения их символического обозначения, весь ваш текст не имеет смысла.
Судя по ассоциативности и коммутативности +, предположу, что мы находимся в рамках аксиом вещественных чисел. Однако это предположение, очевидно, неверно. Чему, например, равно 4+1? Ведь если + это алгебраическая операция, то такое число должно существовать. Вы скажете, что надо просто доопределить 5 в виде 5=4+1. И что же, все числа будем так определять, пока не обосремся? Даже если забыть о том, что конструктивно это невозможно (а я смотрю на вопрос исключительно с конструктивной точки зрения), то, даже если вы попытаетесь это сделать, вам понадобиться сформулировать закон, по которому можно будет любому вещественному числу поставить в соответствие символическую запись. А пока такого закона я не вижу, я всегда могу так произвести операцию "сложения" (например, 4+1), что ее результат будет не определен. Так что с точки зрения аксиоматического подхода к вещ. числам ваш + не является сложением, и никакого доказательства в вашем тексте я не вижу.
>>46347
>S(a+b)=a+S(b)
Это определение функции S или я неправильно что-то понял? Тогда вы как минимум уже определили функцию через операцию +, которая не определена. Як так? Или это не операция? Значок какой-то. Че значит, не понятно.
>a+0=a
Тут я вообще не понял, о чем идет речь. 0 - это что? Натуральное число? Или у вас операция + задана не на множестве натуральных чисел, а на каком-то другом? В таком случае, при чем здесь аксиоматика Пеано для натуральных чисел? Или есть какая-та другая аксиоматика Пеано для ненатуральных чисел? не шарю
>2 + 2 = 4 ?
Потому что так определено в таблице Кэли группы. Т.е. в таблице сложения. В другой группе это не обязательно будет выполняться 2+2 может, например, быть 0, или 3, или вообще -1.
>1.1 - 1.(9) = - 0.9 ?
А тут точно ошибки нет?
>Как складывать-то?
Как написано в таблице так и складывай.
>Мы ж ничего об этой операции и не знаем
Неверно.
>>46348
>Что такое единица?
Элемент в группе, который порождает группу. То есть, любое число можно получить складывая единицу с самой собой.
>Что есть +?
Бинарная операция +:GxG -> G
> Чему, например, равно 4+1?
Тому что написано в таблице, то есть, пяти.
Если бы таблица Кэли для сложения вещественных чисел существовала, то это действительно был бы и
>закон, по которому можно будет любому вещественному числу поставить в соответствие символическую запись
и основание
>в соответствии с которыми проводятся арифметические операции, устанавливается связь между числами, устанавливается связь между числами и цифрами
Проблема заключается лишь в том, что таблицы Кэли для бесконечной группы не существует. И никаких ее аналогов в случае сложения действительных чисел представить себе у меня не получается.
>Если бы таблица Кэли для сложения вещественных чисел существовала
Вопросы, которые ты задавал касались целых. Для целых существует бесконечная таблица Кэли, ничто не мешает её выписать с какой угодно длинной диагонали.
Далее происходит расширение кольца до поля. Смотри кольцо частных. От рациональных до действительных расширение происходит через классы фундаментальных последовательностей.
>существует бесконечная таблица Кэли
Как я уже писал
>я смотрю на вопрос исключительно с конструктивной точки зрения
Так что если она существует - пожалуйста, покажи ее мне или опиши алгоритм ее построения, буду очень рад. Докажи, что она существует.
Конечно же, ты мне ее не покажешь. Правда - ничто не мешает выписать некую таблицу сложения с какой угодно длинной диагонали. Но с какой бы длиной диагонали ты бы не выписал ее, всегда найдется сумма, которая в этой таблице не описана. Так что эта таблица не будет являться таблицей Кэли.
Твое доказательство основывается на объекте, который не может существовать.
>Но с какой бы длиной диагонали ты бы не выписал ее, всегда найдется сумма, которая в этой таблице не описана. Так что эта таблица не будет являться таблицей Кэли.
Это особая конструктивная таблица Кэли. Для любого заданного 2n для любых двух чисел меньше 2n найдётся их сумма, задаваемая таблицей.
>покажи ее мне или опиши алгоритм ее построения, буду очень рад.
Показал. Описал.
ℕ ≔ Z | S : ℕ → ℕ
(Peano axioms)
plus : (ℕ × ℕ) → ℕ
plus (Z, y) = y
plus (S x, y) = S (plus (x, y))
2 + 2 = 4
⇒ plus (S (S Z), S (S Z)) = S (S (S (S Z)))
⇒ S (plus ((S Z), S (S Z)) = S (S (S (S Z)))
⇒ S (S (plus (Z, S (S Z)))) = S (S (S (S Z)))
⇒ S (S (S (S Z))) = S (S (S (S Z)))
∎
Я понимаю этот вопрос так.
Назовём множеством натуральных чисел ℕ — множество конечных ординалов. Теперь нужно определить первые 10 чисел, которые будут цифрами в нашей будущей позиционной системе счисления: 0 := ∅, 1 := 0 ∪ {0}, 2 := 1 ∪ {1}, 3 := 2 ∪ {2}, …, 9 := 8 ∪ {8}.
Если ординал α не является предельным, обозначим следующий за ним ординал α ⊕ 1 (таким образом 10 := 9 ⊕ 1). Теперь мы можем рекурсивно определить сложение.
Сложение (+) ординалов — это бинарная операция, обладающая следующими свойствами:
1) α + 0 = α
2) α + (β ⊕ 1) = (α + β) ⊕ 1
3) α + γ = sup{ α + β | β < γ } для предельного γ ≠ 0
Такая операция существует и единственна, но нам от неё потребуются только первые два свойства, так как конечные ординалы не являются предельными. Заметим, что можно определить эту операцию явно с использованием структуры порядка. Таким же способом можно определить умножение и возведение в степень. Легко заметить, что α + 1 = α ⊕ 1, поэтому второй знак больше не нужен.
Проверим, что 2 + 2 = 4, используя первые два свойства и то, что 2 = 1 + 1 (очевидно из определения). 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.
Таким образом мы построили множество натуральных чисел с операцией сложения и умножения (ассоциативность и коммутативность доказываются).
Дальше строится множество целых чисел ℤ как фактормножество множества упорядоченных пар (a, b) натуральных чисел по отношению эквивалентности (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c.
Сложение: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Умножение: (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc)
Корректность и прочие свойства этих операций доказываются.
Затем строится множество рациональных чисел ℚ как фактормножество множества {(a, b) | a ∈ ℤ, b ∈ ℕ \ {0}} по отношению эквивалентности (a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc.
Сложение: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Умножение: (a, b)(c, d) = (ac, bd)
Теперь мы можем построить множество вещественных чисел ℝ, например, через дедекиндовы сечения и доказать все нужные свойства. Также нужно заметить, что порядок ординалов наследуется натуральными числами и легко переносится на целые, рациональные и вещественные числа.
Введём теперь множество десятичных дробей как множество упорядоченных пар (a, b), где a — конечная последовательность цифр от 0 до 9 (определили выше), b — бесконечная последовательность этих же цифр. Далее построим с помощью принципа Архимеда функцию ψ : → ℝ, которая каждой десятичной дроби ставит в соответствие сумму ряда Σ10nan. Доказывается, что функция сюръективна, но не инъеквтивна. Доказывается, что дробь, стабилизирующаяся на 9, отображается в то же число, что и дробь, стабилизирующаяся на 0 (во всех остальных разрядах эти дроби совпадают кроме последнего, который во втором числе на единицу больше, чем в первом, например: ψ( 0,(9) ) = ψ( 1 ). Доказывается, что если a и b не стабилизируются на 9, то ψ( a ) ≠ ψ( b ). Таким образом мы можем построить фактормножество по отношению ψ и соответствующую функцию Ψ : → ℝ, которая уже будет сюръективной и инъективной. Теперь мы можем сказать, что построили десятичную систему счисления. На десятичных дробях можно ввести операции и порядок, а затем доказать, что отображение Ψ их сохраняет, то есть является изоморфизмом.
Докажем теперь, что 1.1 − 1.(9) = − 0.9. Действительно 1.1 − 1.(9) = 1.1 − 2 = − 0.9.
Можно было пойти и другими путями (возможно, более простыми).
Да, самое главное забыл: как вводятся операции сложения и умножения на вещественных числах? Но об этом завтра, если вдруг непонятно.
> Уже с первым же определением можно поспорить. Что такое единица? Что есть +? Без определения не только этих понятий, но хотя бы определения их символического обозначения, весь ваш текст не имеет смысла.
Возвращение N-петуха, спешите видеть. Единица это сукцессор Z, Z - конструктор типа N, как и сама функция следования. Операция сложения определена в виде функции с этими элементами. Конструктивно функция это первичное понятие, её смысл это вычислимость. Вот же >>46361 примерно так все и есть. С чем ты тут спорить собрался, школопитек? И да, твоё непонимание это не доказательство в математике.
Вот тебе самый простой ответ: так принято, ибо построено на аксиомах.
Типичный пример верующего. Похуй, что и зачем, так принято и все. Было бы принято с бананом в жопе ходить - ты бы и ходил, аксиома ж, ничего не поделать.
>Типичный пример верующего. Похуй, что и зачем, так принято и все. Было бы принято с бананом в жопе ходить - ты бы и ходил, аксиома ж, ничего не поделать.
Типичный пример быдла. Быдло психически не здорово и проявляет агрессию против очевидных вещей.
Почитай первую главу первого тома Зорича, там аксиоматически вводится R, а N определяется как некоторое его подмножество. Все аксиомы R естественны и соответствуют представлению людей о количестве.
Я тоже задавался этим вопрос и нашёл на него ответ, попутно придумал объяснение квадратному корню из двух. Я рисовал кружочки. Десять объединялись в десятки, десятки десятков в сотни и так далее. Когда рядом кружочки, мне надо их сгруппировать, чтобы то же самое количество передать единым обозначением: сколько групп десятков, единиц и так далее. Я делал эт вручную без записей чисел, но когда я заканчивал я видел упорядоченность, которая точно соответствует обозначению цифрами. Но это неудобно становится делать уже, когда появляются тысячи - я просто глазами уже эти кружочки не вижу. Поэтому тут никак это не увидишь своими глазами и обосноваать это придется с помощью логики.
Вещественное число можно определить как предел последовательности рациональных чисел. И у него существует бесконечно много приближений, которые можно вычислить алгоритмами. Что сложного-то?
Хотя не всякое вещественное число вычислимое. Так что тут могут быть проблемы...
Тоже мучаюсь этим вопросом, но пока как и ты не могу сформулировать его достаточно точно, чтобы получить конкретный ответ.
Если ты понимаешь аксиоматику Пеано, то вроде как должен и понимать, что её можно консервативно расширить алфавитом L =
0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 и примитивно рекурсивной функцией digit : N x N -> L которая выдаёт цифру, стоящую в i-ом разряде числа n. Разве это не является хорошей формализацией той самой "связи между числами и цифрами", о которой ты говорил?
Всё это определяется через математическую логику.