В википедии написано.
>>68514
Это ТМ без аксиом. В ней есть парадоксы, связанные с существованием слишком больших множеств. Аксиоматическую ТМ придумали чтобы избавиться от них.
Ты имеешь ввиду аксиммы потипу
если X содержит e, то Y объединённый с X содержит e?
Как это понимать вообще?
В аксиоме не сказано, что для любого А неверно, что А принадлежит А.
Нет.
Погугли парадоксы теории множеств. Они элементарные, их можно понять без какой-либо подготовки.
Все они следует из того, что множествам дают слишком много свободы. Аксиомы ограничивают их.
Что конкретно тебе непонятно? А так суть в том, чтобы не получалось, что множество себя на каком-то из уровней содержит. Множество не может бы своим элементом.
>Множество не может бы своим элементом.
Или элементом своего элемента. Или элементом элемента своего элемента и тд Эта аксиома это запрещает.
>>68544
С какого такого хуя? А={A,B},B={C}, пересечение А и В - пустое множество, аксиома выполняется, при этом А принадлежит А.
A∉A для любого непустого множества A как следствие аксиомы регулярности. О чём тред-то ты думаешь, блядь.
Ты пиздабол. В аксиоме регулярности не сказано, что A∉A. Более того, я даже пример обратного привёл. >А={A,B},B={C}, пересечение А и В - пустое множество, аксиома выполняется, при этом А принадлежит А.
> В аксиоме регулярности не сказано, что A∉A.
так он этого и не утверждал, лол
аксиома это аксиома, а это утверждение тривиально из нее доказывается
ты бы книжку в руки взял, прежде чем на всех подряд тут бочку катить
>Более того, я даже пример обратного привёл. >А={A,B},B={C}, пересечение А и В - пустое множество, аксиома выполняется, при этом А принадлежит А.
brainlet confirmed
> а это утверждение тривиально из нее доказывается
Это пиздабольство чистой воды.
Пали, допустим существует такое множество А = {A, B}. Ну вот у тебя семейство множеств K = {A} и при этом A = {A, B}, написано, что в любом семействе множеств должно быть такое множество, каждый элемент которого не принадлежит этому семейству, а тут это уже неправда получится, так как A принадлежит A и при этом А принадлежит семейству K. Смекаешь? Существования множества A = {A, B} запрещено получилось.
>я не могу это доказать, а значит это нетривиально, ведь я не хлебушек! Ну скажи им, мам!
если кто-то не может доказать, значит, нетривиально
тривиально -- это когда доказательство очевидно, усилий не требуется, даже минимальных
Согласен, но почему запрещённым оказывается цепочка бесконечно вложенных множеств? Это ведь не множество, вложенное само в себя.
Множество, вложенное само в себя это просто частный случай такой цепочки, когда не А вложено в Б вложено в Ц вложено в А, а просто А вложено в А. Аксиома именно про цепочки, что если у тебя все множества в семействе содержат в себе какой-то из элементов этого семейства, то там как водоворот бесконечный из множеств получается, ну как пикрил типа А вложено в Б, Б вложено в Ц, Ц вложено в А и тд. Вот такое и запрещено. А почему запрещено? Потому что чтобы парадоксы исключить.
Нет, оно и правда просто из аксиомы вытекает. Допустим A является своим элементом, тогда в множестве {A} нет ни одного элемента, который не содержит ни одного элемента этого множества.
То есть вот с этим противоречие
A e {A}, но A П {A} непустое, а других элементов там нет, то есть такого б с пика не существует, а должно.
А как это доказать? Про один уровень вложенности понятно, а уровень последующие?
>>68585
Я говорил про.
>А={A,B},B={C}, пересечение А и В - пустое множество, аксиома выполняется, при этом А принадлежит А.
Пусть M - множество в смысле ZFC. Построим по рекурсии ориентированный граф, соответствующий M. Сначала наприсуем одну точку и подпишем её "M". Потом нарисуем все элементы M и проведём стрелку из M в каждый из элементов. Затем аналогично развернём каждый из этих элементов, и так далее, и так далее. Пикрелейтед. Получим дерево. Корнем является M, а все листья подписаны значком пустого множества (если добавлять урэлементы, то и урэлементами). То, что получим именно дерево, гарантирует аксиома регулярности. Из-за неё в графе нет ни циклов, ни путей бесконечной длины. Обратно, по всякому дереву можно построить множество. Поместим на каждый листок по пустому множеству, а более сложные элементы сконструируем, двигаясь против направления стрелок. Ориентированные графы, соответствующие множествам, будем называть скелетами.
В фундированных теориях и в ZFC в частности считается, что скелеты - это в точности деревья.
Напомните, зачем нужны вот эти знаки, если предложение после них читается за три секунды? Из-за этого невозможно учить дискретку по учебникам
>А почему запрещено?
Потому что так левая пятка фон Неймана захотела.
Следствие из того, что не существует бесконечно вложенной последовательности множеств.
>>68587
Про это я уже тут писал>>68577
Не может быть такого множества A = {A, B}
>бесконечно вложенной
Коряво сказал, в том смысле, что не существует бесконечной последовательности множеств a такой, что an+1 является элементом an.
an+1 элементом an, потому что можно рассмотреть множество A = {an : n - натуральное число} и по аксиоме регулярности должно найтись такое множество B = ak, которое не пересекается с A, но ak содержит ak+1, поэтому хуй там плавал.
Аксиома регулярности не зависит от остальных аксиом ZFC и поэтому не может создать парадокс. Её принимают только для того, чтобы все множества можно было расположить в обычный кумулятивный универсум V и чтобы была возможна индукция по принадлежности.
>>68592
Да, я чёт хуйню сморозил, спутались аксиома регулярности и тот принцип от Фреге, что мол если есть какое-то свойство, то и есть множество с этим свойством. Без аксиомы регулярности можно жить и строить всякие другие теории множеств спокойно, многие даже наоборот считают, что из-за неё множества слишком узкими получились и не позволяют всякую цикличную поебень описывать.
А что такое "свойство"? В учебниках логики это почему-то не определяют, но в формулировках схем выделения/подстановки используют.
Предикат веса n определяется как буква из особого алфавита, после которой идут n термов. Не слишком содержательное определение.
>Предикат ({\displaystyle n}n-местный, или {\displaystyle n}n-арный) — это функция с множеством значений {\displaystyle \{0,1\}}\{0,1\} (или {ложь, истина}), определённая на множестве {\displaystyle M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}}M={{M}_{{1}}}\times {{M}_{{2}}}\times \ldots \times {{M}_{{n}}}. Таким образом, каждый набор элементов множества {\displaystyle M}M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».
Например предикат/свойство "быть пидаром", "иметь раздолбанный анус". В общем там имеется ввиду именно это.
В википедии определено то, что обычно называется интерпретацией предиката в модели. А сам по себе предикат - это всё-таки просто предикатный символ. Не предполагается, что выбрана какая-то конкретная модель. Даже существование хотя бы одной модели не предполагается. ZFC строят чисто синтаксически, без использования модели.
Проблема подобных рассуждений в том, что они рассуждениями не являются в строгом смысле. Всё это звучит так будто бы аксиома каким-то магическим образом срабатывает, и нужно верить, что всё обстоит именно так. Но это не математика, это хуита. Мне кажется, что когда человек подобное пишет, то он сам в математике не разбирается.
>>68599
>>68600
>>68601
Предикат - это такая особенная функция, которая принимает любой объекты и возвращает логическое значение {true,false}. Учитывая, что функции тоже определяются через множества, то получается цикличное определение. Вообще получается, что логика определяется в терминах дискретки, дискретка в терминах множеств, а множества в терминах логики.
>Назовём k-местным предикатом на множестве M любое отображение Mk в множество B = {И, Л}. Такой предикат будет истинным на некоторых наборах hm1, . . . , mki множества M и ложным на остальных наборах. Поставив ему в соответствие
множество тех наборов, где он истинен, мы получаем взаимно однозначное соответствие между k-местными предикатами на M и подмножествами множества Mk. Говоря о предикатах, также употребляют термины «валентность», «число аргументов» и др.
Везде, где я смотрел, использовалось именно такое определение предиката. Возможно, ты это у Бурбаков каких-нибудь взял?
>А сам по себе предикат - это всё-таки просто предикатный символ.
Либо же ты путаешь предикатный символ и предикат, когда у нас есть сигнатура и мы хотим указать интерпретацию данной сигнатуры, мы должны каждому предикатному символу сопоставить предикат.
>интерпретацией предиката в модели.
И нам совсем не обязательно, чтобы была модель, то есть чтобы все формулы теории были истинны в данной интерпретации, нам просто нужна интерпретация какая-то какой-то сигнатуры. В сигнатуре есть предикатный символ, ему сопоставляется предикат, функциональным символам функции и тд, получается интерпретация. Может можно как-то по-другому это всё определять, но вроде бы везде именно такие определения используются.
Ну кстати мб такой подход>>68602 исключает порочный круг, хз.
>>68611
Не понял чёт. Ну вообще да, я ж и писал выше, что смысл-то у этого один, "свойство", а всякие формальности это чисто, чтобы строгость не проебалась.
ВОТ ВЧЕРА ДЕНЬ ПОБЕДЫ БЫЛ А ДИЛДОВ ИЗ МГУ НЕ ПОЗДРАВИЛИ НИПОРЯДОК ЗА КАТЕГОРИИ
СУКАА ЗАЕБАЛИ: ВАМ НЕ НАДО "РАЗБИРАТЬСЯ В ЧЁМ СУТЬ" НАДО ПРОСТО ПРАВИЛА ВЫВОДА ИСТИННЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ СУКА ВЫУЧИТЬ. ТЫ ЖЕ В ШАХМАТЫ НЕ ИГРАЕШЬ ЕСЛИ НЕ ЗНАЕШЬ КАК КОНЬ ХОДИТ!
СНАЧАЛА ВЫУЧИ ПРОСТОЕ, ЛОГИКУ ПРЕДИКАТОВ, А ПОТОМ УЖЕ СЛОЖНЫЕ ВЕЩИ ИЗУЧАЙ, НЕ БУДЕШЬ ГЛУПЫЕ ВОПРРСЫ ЗАДАВАТЬ
С чего бы это? Разумеется, всегда нужно понимать, в чем суть. В случае ZFC это значит - для каждой аксиомы знать, ради каких именно теорем она была введена.
> СУКАА ЗАЕБАЛИ: ВАМ НЕ НАДО "РАЗБИРАТЬСЯ В ЧЁМ СУТЬ" НАДО ПРОСТО ПРАВИЛА ВЫВОДА ИСТИННЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ СУКА ВЫУЧИТЬ.
> вам нинада думать, вам нада отченаш выучить
А с чего ты вообще взял что эти правила истинны? Истинны в каком вообще смысле? Ты ж сектант какой-то.
есть строгое математическое определение истинных формул в модели, определение общезначимых формул на классе моделей. (т.е. истинных в каждой из них). Есть строгая теорема о корректности: выводимые формулы
логики предикатов общезначимы. Есть теорема о полноте, что всякая общезначимая формула логики предикатов выводима. Корректность распространяется и на теорию множеств, а полнота -- нет, в силу известных и сложных причин. (теоремы Гёделя о неполноте). Почему эти правила истинны в смысле правильны: в силу теоремы о корректности.
А ещё есть теорема Тарского о невыразимости истины, делающая все эти игрушки гносеологически вторичными.
Ты только название от неё знаешь и сделал далеко идущие выводы, философ чёртов.
Этот результат не про то, что "КО-КО-КО ИСТИННОСТЬ НЕВЫРАЗИМА", как ты говоришь.Там про невыразимость истинности формул внутри самой теории. Кто тебе мешает сколько угодно усиливать арифметику новыми аксиомами и использовать уже её? Ты же своими дурацкими провокационными фразочками "логика хуйня, надо математику по-другому понимать и описывать". До тебя куча людей более умных этим занималось и они приши к тому что есть сейчас. Или ты что, гений? Тогда где твой Филдс?
Теорема именно о том, о чем в ней сказано. Не рвись.
>сколько угодно усиливать арифметику
Удачи применить твою теорему о полноте к логике второго порядка, лол.
Там о том, что множество арифметических истин "больше" любого арифметического множества и не является арифметическим, отсюда и теорема Гёделя вытекает, что раз оно неарифметическое, то оно не является перечислимым, то есть нет исчисления, порождающего все истинные арифметические формулы(аксиомы+правила вывода по сути являются перечисляющим все истинные формулы алгоритмом). Но самый прикол в том, что множество формул, получающихся навешиванием кванторов на разрешимые свойства и множество арифметических формул это одно и то же. K P A C U B O
Ты опять всё путаешь: нафиг мне не нужна теорема о полноте для логики второго порядка, как и сама логика второго порядка, когда я могу рассуждать внутри её семантики, т.е. в интерпретации в теорию множеств. Которая что? Правильно, первопорядковая, а теории первого порядка изучены вдоль и поперёк.
Ты как бы сначала говоришь одно, а потом, когда я тебя ловлю, пытаешься расширить дискурс. При чём тут была логика второго порядка? При чём здесь арифметическая иерархия? Конечно нет исчисления, дающего все арифметические истины, только вот это не играет никакой роли при ответе на твой изначальный наброс "А с чего ты вообще взял что эти правила истинны?".
Второй порядок, первый - это про выразимость концепций в языке, однако когда уже получен конкретный факт, то у него есть вполне конкретная интерпретация. Ты не докажешь ничего принципиально нового только за счёт того, что используешь более богатый язык. Например, какой-нибудь, с зависимыми типами.
Это всё хуйня. Для таких вещей достаточно знать чуть-чуть программирование. Но к пониманию математики, того, на каких абстракциях она строится, это никак не приближает.
> При чём здесь арифметическая иерархия? Конечно нет исчисления, дающего все арифметические истины, только вот это не играет никакой роли при ответе на твой изначальный наброс "А с чего ты вообще взял что эти правила истинны?".
Это не он писал, а я, я ничего не оспаривал, просто ремарку сделал к вашему спору.
Твоя ремарка интересна сама по себе, в отрыве от спора.
В каком источнике можно найти последний КPAСUВЫЙ результат? (Интересна чуть более точная формулировка и пруф)
Аргументы уровня ad hominem, по существу не можешь возразить.
>ad hominem
Оп, адхоминем шизик пожаловал, как по расписанию
Ну так я в отрыве и ремаркал, так сказать. Основной результат там это то, что графики вычислимых функций арифметичны. Отсюда получается, что разрешимые множества арифметичны, то есть навешивая кванторы на разрешимые свойства будем получать формулы арифметики, арифметическая иерархия.
>подробнее
Всё это вольный пересказ отсюда(10.3 - 10.4):
https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-5ed.pdf