если бы умножения, было бы интересней
можно было бы обсудить разные доказательства теоремы о классификации алгебр с делением
А вопрос то какой? Чему жирную точку ставить?
Что такое база и что такое шаг, и как они связаны и побольше примеров хотелось бы
Представь, что у тебя задана некоторая формальная система с правилом (правилами) вывода. Построим ориентированный граф, вершинами которого является некоторое множество А синтаксически корректных высказываний твоей системы, а ориентированными ребрами - импликации между ними.
Такой граф будет задавать некоторое отношение на некотором множестве высказываний. Как и в любом орграфе, в нем существует ядро - то есть подмножество вершин, из которых потенциально достижимы все остальные вершины. Это ядро будет являться базисом индукции. Шагом индукции будет применение этого отношения к множеству вершин (то есть однократный переход из вершины в вершину по стрелочкам). Если ты сумеешь доказать, что все выражения в ядре орграфа истинны и он при этом связен, то из этого немедленно следует, что, двигаясь из ядра по стрелочкам, мы можем в итоге посетить все вершины графа - и, следовательно, ВСЕ выражения, принадлежащие множеству А, истинны.
То есть, индукция - это просто частный случай волнового алгоритма. Математики пользуются его элементарной версией и не прямо, а косвенно, через параметризацию некоторого математического объекта и использованием особенностей структуры множества значений параметра. Например, доказывая по индукции выражение для суммы арифметической прогрессии, мы параметризуем это выражение (выделяя переменную n, значения которой принадлежат множеству натуральных чисел) и используем тот факт, что на множестве N существует линейный порядок - то есть бесконечную ориентированную цепь с ядром в вершине 1. Сначала мы доказываем истинность выражения в ядре этого орграфа (он же базис, он же истинность выражения при значении параметра n = 1), а потом доказываем его связность (т. н. шаг индукции, или наличие импликации между вершинами k и k + 1 для любого k > 1).
Аналогичный фокус мы можем выполнить для любого количества параметров и для любых множеств, на которых задано какое-то отношение. Наш орграф может быть не только цепью, как в классическом случае, а иметь самую причудливую форму.
Слишком сложно для меня, понял немного только про n. Она при любых раскладах должна принадлежать натуральным числам?
Нет, необязательно. Просто индукция на N это классический случай.
Параметр может принимать значения из любого множества. Но нам выгодны только те множества, на которых задано относительно простое отношение, которое мы можем использовать. На N мы используем линейный порядок, потому что граф этого отношения очень прост и регулярен (достаточно рассмотреть один элемент в базе и индуктивный переход для любой пары вершин, чтобы получить доказательство сразу для всех значений параметра). Но если множество не выстроено в линеечку, решетку или другую регулярную конструкцию, и граф отношений спутан кое-как, то особой выгоды от параметризации не будет - т. к. тогда придется рассматривать множество частных случаев (множество элементов в базе и отдельные цепочки импликаций).
Для понимания просто посмотри какой-нибудь видосик с работой волнового алгоритма, это же классика CS. У тебя есть ориентированный граф. В графе есть истинные (помеченные) вершины. Запускаем алгоритм - и метка распространяется по ребрам на смежные вершины - а потом с них на следующие и так далее. Если истинные вершины принадлежали ядру графа, то все вершины в итоге станут истинными. Если нет - то возможен случай, когда некоторые вершины останутся непомеченными.
Сосед за партой спереди дебил
Сосед соседа за партой спереди дебилы.
По закону индукции все вокруг дебилы.
Это было бы верно, если бы после добавления в любую толпу дебилов еще одного человека, оказывалось что это снова толпа дебилов.
Как-то костыльно.
Допустим, вокруг все дебилы (или на всей планете). И других мы даже помыслить не можем. Тогда метод индукции работает: все всегда дебилы.
Если мы сразу знаем, что людей конечное число, и все они дебилы, то тогда что же мы доказываем?
допустим, мы пока не знаем.
и пытаемся доказать.
и у нас получается это сделать.