>>51709 Есть ли наглядное объяснение всех тригонометрических формул? Если да, то объясните кому интересно.
Аноним
06/04/19 Суб 11:29:12
№
1
Есть ли наглядное объяснение всех тригонометрических формул? Если да, то объясните кому интересно.
Есть, но нужно знать что такое комплексные числа.
|w|=1, arg(w)=ф. f(z)=wz - это поворот вокруг 0 на ф градусов.
допустим |w'|=1 и arg(w')=ф'. Тогда arg(ww')=arg(w)+arg(w'). Это число с тригонометрической форме записывается как cos(ф+ф')+isin(ф+ф'). Представив в тригонометрической форме w и w', и перемножив их получаем: (cosф+isinф)(cosф'+isinф')=cosфcosф'-sinфsinф'+i(cosфsinф'+cosф'sinф).
Сопоставив получим: cos(ф+ф')=cosфcosф'-sinфsinф' и sin(ф+ф')=cosфsinф'+cosф'sinф.
Начиная со страницы 120 пункты 2 и 3 прочитай, там всё разжёвано на пальцах.
http://ilib.mccme.ru/pdf/kurant.pdf
В смысле? Там за 5 страниц вся тригонометрия объясняется, начиная с геометрической интерпретации комплексного числа выводится формула Муавра , из которой можно получить любую тригонометрическую формулу, которые заставляют в школе зубрить. Причём тут олимпиадки?
Но конечная формула Муавра не понадобится при выводе через векторы.
Про векторы я имею ввиду, что у тебя есть r и i единичные вектора и любое комплексное число через их линейную комбинацию выражается, это то же самое, что и там написано. Что не понадобится? Формула Муавра конечная цель, из неё можно получить любые формулы для sinkx / coskx. А ты про что?
Банальный, школьный уровень имел в виду.
http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/angle_addition_formulas.html
Ну так, а если там sin10x, что проще, через sin(9x+x), потом каждый sin8x, cos8x черезз 7x + x представлять или через формулу Муавра? Я до сих пор помню как заставляли зубрить sin3x, cos3x вместо того, чтобы дать общую формулу из которой можно все подобные вещи вывести. Ненавидел тригонометрию в школе.
Или что, ты про интерпретацию умножения комплексных чисел как умножение модулей и сложение углов? Так всё это тоже там есть, в тех 5 страницах. Короче, не понимаю я, что тебе не нравится.
>Я до сих пор помню как заставляли зубрить sin3x, cos3x вместо того, чтобы дать общую формулу из которой можно все подобные вещи вывести.
Да к тому, что необязательно знать обобщённую формулу Муавра, чтобы объяснить вывод формул тригонометрии. Мол, меньше получится затрагиваемых тем и школьного уровня будет достаточно для восприятия (не надо даже касаться комплексных чисел). Ну да ладно.
> чтобы объяснить вывод формул тригонометрии
Ну простых да, а сложные школьнику придётся зубрить так как выводить какой-нибудь sin(10x) из sin(a+b) он просто заебётся. Кто-то наверху в системе образования решил, что комплексные числа для школьникам сложно и поэтому им приходится зубрить формулы, непонятно как выведенные, хотя всё это объясняется за один урок.
>даже комплексных чисел
Да откуда такой страх комплексных чисел?
Да и потом, так красивее, какие связи затрагиваются, а так просто сухие синусы касинусы, которые непонятно зачем нужны. Скука.
Ну не то что страх, просто упор на простое представление, хотя вы правы - некоторое смущение они вызывают, но это тоже из-за личных стереотипов (мол, в реальности они выводятся алгебраически, а не строго фиксируются посредством счёта).
А школьники должны в 11 классе достаточно близко познакомиться с ними, спору нет, но требовать от них изучения формулы Муавра - это жестоко, ведь и так мало у них времени. Да и теории много нужно будет перелопатить. Кто-то вообще считает что школьников нужно привести к основной теореме алгебры, но мне бы хотелось увидеть как он выстроит программу со всеми доказательствами, и это учитывая что идиоты хотят сделать английский обязательным экзаменом.
>требовать от них изучения формулы Муавра - это жестоко
Она простая, рассказываешь про комплексные, потом вот у тебя комплексное z = p(sinx+icosx), рассказываешь про умножение комплексных, модули перемножаются, углы складываются, zz'=pp'(sin(x+y)+icos(x+y)), при z' = z z2=p2(sin2x+icos2x) по индукции получаешь zn=pn(sinnx+icosnx), при p=1(единичная окружность) zn = sinnx+icosnx, но мы знаем, что z = sinx+icosx, получается формула Муавра (sinx+icosx)n = sinnx+icosnx. Всё, что нужно знать это вот твоё векторное представление комплексных чисел и как их перемножить. Если бы это было суперсложно то да, нет смысла это давать, но это реально можно за урок объяснить, а профитов дофига, по мне так гораздо сложнее зубрить кучу формул, а в егэ часто встречаются всякие sin5x, cos10x. Ну это имхо, конечно.
Только я синусы с косинусами перепутал, cosx+isinx, то, что z = pcosx(проекция на x)+ipsinx(проекция на y) это как раз следует из "векторных" соображений, аналогичная ситуация с умножением комплексных чисел как произведением модулей и суммой углов(аргументов). Всё, больше ничего не нужно.
А если модуль единица, то раскрывается смысл косинуса как проекции единичного отрезка на ось x/синуса на ось y, так-то по сути всё, что нужно, это нарисовать крестик и кружочек и из этого рисунка можно научить выводить все формулы тригонометрии.
Так нам-то может и просто, а вот школьникам, которые ещё не привыкли к абстрактным представлениям будет тяжко. Тем более, вы не учитываете вывод бинома, что накладывает ещё сверху комбинаторику. В общем, согласен что вывод формулы Муавра - это полезное (универсальное) обобщение, но это накладывает большую нагрузку на школьника, по личному мнению.
>А если модуль единица, то раскрывается смысл косинуса как проекции единичного отрезка на ось x/синуса на ось y, так-то по сути всё, что нужно, это нарисовать крестик и кружочек и из этого рисунка можно научить выводить все формулы тригонометрии.
Бесспорно, только и представление комплексных чисел не понадобится для вывода. Ну, это тоже лишь мнение.
Опыт покажет что лучше подходит для наглядного вывода.
Нахрен комплексы лепить к тригонометрии, непонятно. Тригонометрия прекрасно понимается с помощью этого кружка и без всяких коплекснутых чисел.
>>51840
Ну ладно, может ты и прав, я просто по себе сужу, детская обида так сказать, я в школе ненавидел тригонометрию, нас просто заставляли зубрить какие-то косинусы тройных, четверных углов, что, зачем, для чего хуй его знает. А потом оказалось, что всё это легко и просто, лёгким движением руки как говорится, получается из крестика с кружочком и каких-то совсем простых идей. Но да, может быть при такой подаче я, будучи школьником, вообще нихуя не понял бы. Может и так, опыт критерий истины, все дела. Да и про бином Ньютона я забыл как-то, само собой разумеющимся кажется, а ведь у школьника и глаза могут на лоб полезть немножко.
>комплексы
>к тригонометрии
Это мы ещё про пучки прямых не начали.
>Тригонометрия прекрасно понимается с помощью этого кружка и без всяких коплекснутых чисел.
Изначально поддерживал это. Согласен.
>Ну ладно, может ты и прав, я просто по себе сужу, детская обида так сказать, я в школе ненавидел тригонометрию, нас просто заставляли зубрить какие-то косинусы тройных, четверных углов, что, зачем, для чего хуй его знает. А потом оказалось, что всё это легко и просто, лёгким движением руки как говорится, получается из крестика с кружочком и каких-то совсем простых идей. Но да, может быть при такой подаче я, будучи школьником, вообще нихуя не понял бы. Может и так, опыт критерий истины, все дела. Да и про бином Ньютона я забыл как-то, само собой разумеющимся кажется, а ведь у школьника и глаза могут на лоб полезть немножко.
Благодарю за обсуждение.
>Тригонометрия прекрасно понимается с помощью этого кружка
Так ведь этот кружок есть множество всех комплексных корней из 1; ось y есть мнимая ось, а x вещественная.
То есть ты как бы можешь об этом недоговаривать, скрывать эту часть информации так сказать от учащихся, что конечно не очень красиво, но твоё дело. Суть однако не изменится, представление в виде кружка и с помощью комплексной плоскости это буквально одно и то же, хочешь быть честным, отказывайся от кружка тоже.
>Так ведь этот кружок есть множество всех комплексных корней из 1
А разве такое представление не было выработано ещё до развития комплексных чисел, за счёт тригонометрического тождества?
какая разница, когда оно было выработано, если это одинаковые вещи?
Изоморфизм - не тождественность. Подгруппа кручения U(1) и корни из единицы - разные вещи. Прямая на плоскости и Ax+By+C=0 - разные вещи.
>Изоморфизм - не тождественность. Подгруппа кручения U(1) и корни из единицы - разные вещи. Прямая на плоскости и Ax+By+C=0 - разные вещи.
По модулю контекста дискуссии - абсолютно одни и те же вещи, так что попытка выебнутся не прокатила.
И как же предлагается доказать, что отношение противолежащего катета к гипотенузе - это то же самое, что x-x^3/3! + x^5/5! + ... ?
вообще прикольно, что сначала математика шла по пути отождествления почти одинаковых объектов (с точностью до изоморфизма) а потом наоборот стало важно различать различные, но изоморфные объекты, эквивалентные категории и т.д....